6. 从弱形式到有限元方程——完整的数学推导

有了变分原理作为理论基础，这一章我们用一维杆单元为例，完整走一遍从弱形式到有限元方程组的推导过程。这是理解有限元法“黑箱”内部机制的最佳途径。

一、问题描述：一维弹性杆

考虑一根长度为 L、截面积为 A、弹性模量为 E 的均匀直杆，一端固定（u(0)=0），另一端受拉力 P。杆的轴向位移为 u(x)，体力（沿轴向的分布载荷）为 f(x)。

二、强形式

杆的轴向变形由以下微分方程控制：

−ddx(EAdudx)=f(x),x∈(0,L)−dxd​(EAdxdu​)=f(x),x∈(0,L)

边界条件：

• 位移边界：u(0) = 0（固定端）
• 力边界：[size=1.21em]EAdudx∣x=L=PEAdxdu​​x=L​=P（自由端受拉力）
  

这就是强形式——要求在区间内每一点都满足微分方程。

三、转化为弱形式

按照标准步骤：

第一步：乘以测试函数 w(x)（在位移边界上 w(0)=0），并在整个区间上积分：

−∫0Lwddx(EAdudx)dx=∫0Lwf dx−∫0L​wdxd​(EAdxdu​)dx=∫0L​wfdx

第二步：分部积分，将二阶导数降为一阶导数：

∫0LdwdxEAdudx dx−[wEAdudx]0L=∫0Lwf dx∫0L​dxdw​EAdxdu​dx−[wEAdxdu​]0L​=∫0L​wfdx

第三步：代入力边界条件 [size=1.21em]EAdudx∣x=L=PEAdxdu​​x=L​=P，且 w(0)=0，边界项简化为：

∫0LdwdxEAdudx dx=∫0Lwf dx+w(L)⋅P∫0L​dxdw​EAdxdu​dx=∫0L​wfdx+w(L)⋅P

这就是一维杆问题的弱形式。注意：弱形式中只出现了一阶导数，降低了对解的光滑性要求。

四、离散化：引入形函数

现在将杆划分为 n 个单元，每个单元有 2 个节点（线性单元）。在单个单元内，位移 u(x) 用节点位移的线性插值近似：

u(x)≈uh(x)=N1(x)u1+N2(x)u2u(x)≈uh(x)=N1​(x)u1​+N2​(x)u2​

其中 N₁(x)、N₂(x) 是形函数。对于长度为 l 的单元，形函数为：

N1(x)=1−xl,N2(x)=xlN1​(x)=1−lx​,N2​(x)=lx​

同样，测试函数 w(x) 也采用相同的形函数（这就是伽辽金法的核心——测试函数与 trial 函数采用同一组基函数）。

五、得到单元刚度矩阵

将近似解代入弱形式，并取 w = N₁ 和 w = N₂，得到两个方程。写成矩阵形式：

[EAl−EAl−EAlEAl]{u1u2}={F1F2}[lEA​−lEA​​−lEA​lEA​​]{u1​u2​​}={F1​F2​​}

或简写为：

k(e)u(e)=f(e)k(e)u(e)=f(e)

其中 k⁽ᵉ⁾ 就是单元刚度矩阵，u(e)u(e) 是单元节点位移向量，f(e)f(e) 是单元等效节点力向量。

这就是有限元法最核心的公式——每个单元都有一个简单的小矩阵方程。

六、全局组装

将所有单元的刚度矩阵“组装”成全局刚度矩阵 K，将所有节点力向量组装成全局载荷向量 F：

KU=FKU=F

其中 U 是所有节点的位移向量。

组装的原则是节点叠加——共享同一节点的所有单元，其刚度贡献在该节点处相加。

七、施加边界条件并求解

将位移边界条件 u(0)=0 引入方程组（划去对应的行和列），得到可解的线性方程组。求解后得到所有节点的位移 U。再回代到单元层面，即可得到每个单元的应力和应变。

整个推导过程清晰地展示了：有限元法 = 变分原理（弱形式）+ 分片插值（形函数）+ 矩阵组装 + 数值求解。